Đáp án:
$1.$ GTLN
$A = 10$ khi $x = 3 , y = 2$
$B = - \frac{3}{2}$ khi $x = 1 , y = \frac{5}{2}$
$2.$ GTNN
$A = - \frac{9}{4}$ khi $x = - \frac{1}{2} , y = - 2$
$B = 12$ khi $x = 3 , y = 2$
Giải thích các bước giải:
$1. a. A = - x^{2} + 2xy - 4y^{2} + 2x + 10y - 3$
⇔ $A = - ( x^{2} - 2xy + y^{2} ) + 2( x - y ) - 3( y^{2} - 4y + 4 ) + 9$
⇔ $A = - ( x - y )^{2} + 2( x - y ) - 1 - 3( y - 2 )^{2} + 10$
⇔ $A = - ( x - y - 1 )^{2} - 3( y - 2 )^{2} + 10 ≤ 10$ với $∀ x , y$
( vì $- ( x - y - 1 )^{2} - 3( y - 2 )^{2} ≤ 0$ với $∀ x , y$ )
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x - y - 1 = 0 , y - 2 = 0$
⇔ $x = 3 , y = 2$
$b. B = - x^{2} + 2x - 2y^{2} + 10y - 15$
⇔ $B = - ( x^{2} - 2x + 1 ) - 2( y^{2} - 5y + \frac{25}{4} ) - \frac{3}{2}$
⇔ $B = - ( x - 1 )^{2} - 2( y - \frac{5}{2} )^{2} - \frac{3}{2} ≤ - \frac{3}{2}$ với $∀ x , y$
( vì $- ( x - 1 )^{2} - 2( y - \frac{5}{2} )^{2} ≤ 0$ với $∀ x , y$ )
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = 1 , y = \frac{5}{2}$
$2. a. A = x^{2} + x + y^{2} + 4y + 2$
⇔ $A = ( x^{2} + x + \frac{1}{4} ) + ( y^{2} + 4y + 4 ) - \frac{9}{4}$
⇔ $A = ( x + \frac{1}{2} )^{2} + ( y + 2 )^{2} - \frac{9}{4} ≤ - \frac{9}{4}$ với $∀ x , y$
( vì $( x + \frac{1}{2} )^{2} + ( y + 2 )^{2} ≥ 0$ với $∀ x , y$ )
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = - \frac{1}{2} , y = - 2$
$b. B = x^{2} - 2xy + 4y^{2} - 2x - 10y + 25$
⇔ $B = ( x^{2} - 2xy + y^{2} ) - 2( x - y ) + 3( y^{2} - 4y + 4 ) + 13$
⇔ $B = ( x - y )^{2} - 2( x - y ) + 1 + 3( y - 2 )^{2} + 12$
⇔ $B = ( x - y - 1 )^{2} + 3( y - 2 )^{2} + 12 ≥ 12$ với $∀ x , y$
( vì $( x - y - 1 )^{2} + 3( y - 2 )^{2} ≥ 0$ với $∀ x , y$ )
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x - y - 1 = 0 , y - 2 = 0$
⇔ $x = 3 , y = 2$
