Đáp án:

 a) $\left( {a;b} \right) =(1;1)$

b)$\left( {a;b} \right) = \left( {4; - 28} \right)$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\left( {{x^4} + a{x^2} + b} \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)$

$\begin{array}{l}
{x^4} + a{x^2} + b = \left( {{x^2} + cx + b} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^4} + a{x^2} + b = {x^4} + \left( {c + 1} \right){x^3} + \left( {1 + c + b} \right){x^2} + \left( {c + b} \right)x + b\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c + 1 = 0\\
b + c + 1 = a\\
b + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 1\\
b =  - c\\
a = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1\\
c =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $(a;b)=(1;1)$

b) Đặt $P\left( x \right) = a{x^3} + bx - 24$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {a{x^3} + bx - 24} \right) \vdots \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P\left( { - 1} \right) = 0\\
P\left( { - 3} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.\left( { - 1} \right) - 24 = 0\\
a.{\left( { - 2} \right)^3} + b.\left( { - 2} \right) - 24 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - a - b = 24\\
 - 8a - 2b = 24
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b =  - 28
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $\left( {a;b} \right) = \left( {4; - 28} \right)$

`a,` Theo đề bài, ta có: `(x^4+ax^2+b) \vdots (x^2+x+1)`

Ta thấy thương là đa thức bậc 2 có hệ số bậc cao nhất là `1` ( Vì `x^4 : x^2 = x^2`) và hệ số bậc thấp nhất là `b` ( vì `b : 1 = b` )

`->` Nên ta gọi thương là `x^2 + cx + b` ( Với `c` là hệ số của biến `b` ), ta có:

`x^4 + ax^2 + b = (x^2+x+1)(x^2 + cx + b)`

`<=> x^4 + ax^2 + b = x^4 + x^3 + x^2 + cx^2 + cx^3 + cx + bx^2 +bx + b`

`<=> x^4 + ax^2 + b = x^4 + (c+1)x^3 + (1 + c + b )x^2 + ( c + b)x + b`

`<=> {(c + 1 = 0),(1 + c + b = a),(c + b = 0):} <=> {(c = -1),(b = 1),(a = 1):}`

Vậy hệ số `a, b` cần tìm là `a = 1` và `b = 1`

`b,` gọi ` A(x) = ax^3 + bx - 24`

Ta có:

`(ax^3 + bx - 24) \vdots (x^2+4x+3)`

`<=> {(a.(-2)^3+b.(-2)-24=0),(a.(-1)^3+b.(-1)-24=0):} `

`<=> {(-8a-2b = 24),(-a-b=24):} <=> {(a = 4),(b = -28):}`

Vậy hệ số `a, b` cần tìm là: `a = 4, b = -28`