$\lim\limits_{x\to \pm\infty}{(ax-3)^{20}(bx+2)^{30}}{x^2+2}$
$=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{x^{20}.x^{30}\Big(a-\dfrac{3}{x}\Big)^{20}.\Big(b+\dfrac{2}{x}\Big)^{30}}{x^2+2}$
$=\lim\limits_{x\to \pm\infty}x^{48}.\dfrac{\Big(a-\dfrac{3}{x}\Big)^{20}.\Big(b+\dfrac{2}{x}\Big)^{30}}{1+\dfrac{2}{x^2}}$
$=+\infty$