Bài 1.
`A=4^{27}+4^{2016}+4^n`
Xét `n\ge 27`
`A=4^{27} . (4^{n-27} +4^{1989}+1)`
`A=(2^{27})^2 . (4^{n-27} +4^{1989}+1)`
Vì `(2^{27})^2` là số chính phương nên để $A$ là số chính phương thì $B=4^{n-27} +4^{1989}+1$ là số chính phương.
Ta có:
`B=(2^{n-27})^2 +2^{3978}+1`
`B=(2^{3977+n-4004})^2+2.2^{3977}+1`
+) Nếu `n=4004` thì: $n-4004=0$
`B=(2^{3977})^2+2.2^{3977}+1`
`B=(2^{3977}+1)^2`
`=>n=4004` thì $B$ là số chính phương
+) Nếu `n>4004=>n-4004>0`
`=>B>(2^{3977+n-4004})^2` $(1)$
`\qquad 2.2^{3977}<2.2^{3977+n-4004}`
`=>B<(2^{3977+n-4004})^2+2.2^{3977+n-4004}+1`
`=>B<(2^{3977+n-4004}+1)^2` $(2)$
Từ `(1);(2)=>(2^{3977+n-4004})^2<B<(2^{3977+n-4004}+1)^2`
`=>n>4004` thì $B$ không là số chính phương
Vậy số nguyên dương lớn nhất thỏa đề bài là $n=4004$
$\\$
Bài 2.
Ta có:
`\qquad 2x^2+3x+2=2(x^2+2. x. 3/ 4 +9/{16})+7/ 8`
`=2(x+3/ 4)^2+7/ 8 \ge 7/ 8>0 \forall x`
`=>x^3+2x^2+3x+2>x^3`
`=>y^3>x^3` $(1)$
Ta lại có:
`4x^2+9x+6=(4x^2+2.2x. 9/ 4 +{81}/{16})+{15}/{16}`
`=(2x+9/ 4)^2+{15}/{16}\ge {15}/{16}>0\ \forall x`
`=>(x^3+2x^2+3x+2)+(4x^2+9x+6)> x^3+2x^2+3x+2`
`=>x^3+6x^2+12x+8>x^3+2x^2+3x+2`
`<=>(x+2)^3>y^3` $(2)$
Từ `(1);(2)=>x^3<y^3<(x+2)^3`
`=>y^3=(x+1)^3`
`<=>x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1`
`<=>x^2=1`
$⇔\left[\begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array}\right.$$⇒\left[\begin{array}{l}y=x+1=2\\y=x+1=0\end{array}\right.$
Vậy cặp số nguyên `(x;y)` thỏa đề bài là: $(1;2);(-1;0)$
$\\$
Bài 3.
Ta có:
`\qquad 16x^4-32x^3+24x^2+ax+b`
`=16x^4-32x^3+20x^2+4x^2+ax+b`
`=4x^2 .(4x^2-8x+5)+(4x^2+ax+b)`
Vì `4x^2 .(4x^2-8x+5)` chia hết cho `(4x^2-8x+5)`
`=>` Để $(16x^4-32x^3+24x^2+ax+b)$ chia hết $(4x^2-8x+5)$ thì: $ax+b=-8x+5$
$⇒\begin{cases}a=-8\\b=5\end{cases}$
Vậy $a=-8;b=5$
