Đáp án:
1) n = 50.
2) A chia hết cho 6,7
3) \(n \ne 5k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\)
4) \(n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\).
Giải thích các bước giải:
1) \(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 1275\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + n} \right).n:2 = 1275\\ \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n = 2550\end{array}\)
Do (n+1) và n là 2 số tự nhiên liên tiếp.
Mà 2550 = 50.51
Vậy n = 50.
2) \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^{23}} + {2^{24}}\)
\(\begin{array}{l}A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{23}} + {2^{24}}\\A = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + ... + \left( {{2^{23}} + {2^{24}}} \right)\\A = \left( {2 + {2^2}} \right) + 2\left( {2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{22}}\left( {2 + {2^2}} \right)\\A = 6 + 2.6 + ... + {2^{22}}.6\\A = 6\left( {1 + 2 + ... + {2^{22}}} \right)\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,6\end{array}\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + .... + \left( {{2^{22}} + {2^{23}} + {2^{24}}} \right)\\A = 2\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{22}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\\A = 2.7 + {2^4}.7 + ... + {2^{22}}.7\\A = 7\left( {2 + {2^4} + ... + {2^{22}}} \right)\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,7\end{array}\)
3) Gọi \(\left( {2n + 3;4n + 1} \right) = d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3\,\, \vdots \,\,d\\4n + 1\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {2n + 3} \right) - \left( {4n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 4n + 6 - 4n - 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 5\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\}\end{array}\)
Để 2n+3 và 4n+1 là 2 STN cùng nhau thì \(d \ne 5\).
\( \Rightarrow 2n + 3\) không chia hết cho 5.
\( \Rightarrow 2n - 2\) không chia hết cho 5.
\( \Rightarrow 2\left( {n - 1} \right)\) không chia hết cho 5
Mà (2;5) = 1 => n-1 không chia hết cho 5.
Vậy \(n \ne 5k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\) thì 2n+3 và 4n+1 là 2 STN cùng nhau.
4) Ta có:
\(\begin{array}{l}3\left( {n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,n - 2\\ \Rightarrow 3\left( {n + 2} \right) - 3\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,n - 2\\ \Rightarrow 3n + 6 - 3n + 6\,\, \vdots \,\,n - 2\\ \Rightarrow 12\,\, \vdots \,\,n - 2\\ \Rightarrow n - 2 \in U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\\ \Rightarrow n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\end{array}\)
Vậy \(n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\).
