1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:\(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)2) Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b

777747473080955

2 năm trước

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:
\(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)
2) Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}\)
A.a) (1;–1), (2;–3), (1;2)
b) GTNN của biểu thức M là 3
B.a) (1;1), (2;–3), (1;–2)
b) GTNN của biểu thức M là 4
C.a) (1;–1), (2;–3), (1;–2)
b) GTNN của biểu thức M là 2
D.a) (1;–1), (2;3), (1;–2)
b) GTNN của biểu thức M là 2

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 21 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Ngocsang004

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}z = x + y\\t = 3x + 2y\end{array} \right.\,\left( {z,t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow 2x + y = t - z\), phương trình đã cho trở thành
\(z{t^2} = t - z - 1 \Leftrightarrow z{t^2} - t + z + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn t, nó có nghiệm khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\Delta = 1 - 4z\left( {z + 1} \right) = - 4{z^2} - 4z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2 - {\left( {2z + 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2z + 1} \right)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2z + 1 = 0\\2z + 1 = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\z = 0\;\left( {tm} \right)\\z = - 1\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
(do z ∈ ℤ)
Với z = 0, (2) trở thành \( - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\)
Với z = –1, (2) trở thành \( - {t^2} - t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\3x + 2y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\3x + 2y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x;y) là (1;–1), (2;–3), (1;–2)
Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {a + 2b} \\y = \sqrt {3b} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = a + 2b\\{y^2} = 3b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{3}\\b = \frac{{{y^2}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow b + 2a = 2{x^2} - {y^2}\) \((x, y > 0)\)
Ta có \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} \Leftrightarrow 3\sqrt {a + 2b} = 6 + \sqrt {3b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6 + y\\x > 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 6 = y\\x > 2\end{array} \right.\)
\(M = \frac{{3{x^2} - 2{y^3}}}{{3x}} + \frac{{{y^2}}}{{3\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: \(y\sqrt {2{x^2} - {y^2}} \le \frac{{{y^2} + \left( {2{x^2} - {y^2}} \right)}}{2} = {x^2}\)
\( \Rightarrow M = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3y\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }} \ge \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3{x^2}}} = \frac{{3{x^3} - 2x{y^2} + {y^3}}}{{3{x^2}}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{3{x^3} - 2x{{\left( {3x - 6} \right)}^2} + {{\left( {3x - 6} \right)}^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{3{x^3} - 2x\left( {9{x^2} - 36x + 36} \right) + 27{x^3} - 3.{{\left( {3x} \right)}^2}.6 + 3.3x{{.6}^2} - {6^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{12{x^3} - 90{x^2} + 252x - 216}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{4{x^3} - 30{x^2} + 84x - 72}}{{{x^2}}}\\ = \frac{{4{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}} + 2 \ge 2\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a + 2b} = 3\\\sqrt {3b} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 3\) (thỏa mãn)
Vậy GTNN của biểu thức M là 2, đạt được khi a = b = 3

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các tính chất sau:
i) không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau;
ii) mỗi đường thẳng đi qua P và Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q.
Hỏi 10 đường thẳng trên có thể chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền? Hãy giải thích.
A.42 miền
B.43 miền
C.44 miền
D.45 miền

a)Giải phương trình \({x^2} - 4x + 4 = 0\)
b) Tìm giá trị của m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10.\)
A.a) \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
b) m=2
B.a) \(S = \left\{ 6 \right\}.\)
b) m=4
C.a) \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
b) m=4
D.a) \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
b) m=6

Cho parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3x - 2.\)
a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
A.\(\left( {1;\;1} \right)\) và \(\left( {2;\;\;4} \right).\)
B.\(\left( {2;\;1} \right)\) và \(\left( {2;\;\;4} \right).\)
C.\(\left( {1;\;1} \right)\) và \(\left( {2;\;\;5} \right).\)
D.\(\left( {1;\;1} \right)\) và \(\left( {1;\;\;4} \right).\)

Cho phương trình \(3{x^2} - x - 1 = 0\) có \(2\) nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\).
A.\(A = \frac{2}{9}\).
B.\(A = \frac{7}{9}\).
C.\(A = \frac{7}{4}\).
D.\(A = \frac{7}{2}\).

Kim tự tháp Kheops – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214 m, cạnh đáy của nó dài 230 m.
a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức \(V = \frac{1}{3}Sh\), trong đó \(S\) là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo \({m^3}\) thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn).
A.a) h=139,1m
b) 2453000 \({m^3}\)
B.a) h=239,1m
b) 2453000 \({m^3}\)
C.a) h=139,1m
b) 2553000 \({m^3}\)
D.a) h=139,1m
b) 2463000 \({m^3}\)

Thành phần kinh tế nào giữ vai trò chủ đạo trong nền kinh tế quốc dân ở nước ta?
A.Có vốn đầu tư nước ngoài.
B.Nhà nước.
C.Ngoài Nhà nước.
D.Tư nhân.

Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) trên C. Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình. Khi đó diện tích tam giác OAB là :
A.\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
B.\(\sqrt 3 \)
C.\(1\)
D.\(2\)

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.Số phức \(z = a + bi\) có số phức đối là \( - a - bi\)
B.Số phức \(z = a + bi\)được biểu diễn bằng điểm \(M\left( {a;b} \right)\) trong mặt phẳng phức \(Oxy\).
C.Số phức \(z = a + bi = 0 \Leftrightarrow a = b = 0\)
D.Số phức \(z = a + bi\)có số phức liên hợp là \(\overline z = - a - bi\).

Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 2 + 3i;\,\,{z_2} = 1 + 5i\); \({z_3} = 4 + i\). Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành có phần ảo là:
A.1
B.-1
C.-5
D.5

Ở nước ta tháng nào có tần suất bão lớn nhất?
A.VIII.
B.VI.
C.X.
D.IX.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến