1) Do $\overline{71x1y}$ chia hết cho 45 nên nó chia hết cho 9 và 5.
Do số trên chia hết cho 5 nên $y = 0$ hoặc $y = 5$.
TH1: $y = 0$
Khi đó số $\overline{71x10}$ chia hết cho 9.
Vậy 7 + 1 + x + 1 chia hết cho 9 hay x + 9 chia hết cho 9.
Vậy $x = 0$ hoặc $x = 9$.
TH2: $y = 5$
Vậy $7 + 1 + x + 1 + 5$ chia hết cho 9 hay $14 + x $ chia hết cho 9.
Vậy $x = 4$.
Do đó có các cặp số là $(0,0), (9,0), (4,5)$.
2. Để cminh một số chia hết cho 72, ta cminh nó chia hết cho 9 và 8.
Ta có
$10^{28} + 8 = 10...08$
có tổng các chữ số bằng 9, do đó chia hết cho 9.
Mặt khác, ta có
$10^{28} + 8 = 10^3 . 10^{25} + 8$
$= (2.5)^3 . 10^{25} + 8$
$= 2^3. 5^3 . 10^{25} + 8$
$= 8 . 5^3 . 10^{25} + 8$
$= 8(5^3 . 10^{25} + 1)$
Vậy số đã cho chia hết cho 8.
Do nó vừa chia hết cho 8, vừa chia hết cho 9 nên nó chia hết cho 72.
4) Ta có
$A = 2 + 2^2 + \cdots + 2^{60}$
$= 2(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + \cdots + 2^{59} (1 + 2)$
$= 3.2 + 3.2^3 + \cdots + 2^{59} . 3$
$= 3(2 + 2^3 + \cdots + 2^{59})$
Vậy A chia hết cho 3.
Lại có
$A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 +\cdots +2^{58} + 2^{59} + 2^{60}$
$= 2(1 + 2 + 2^2) + 2^4(1 + 2 + 2^2) + \cdots + 2^{58} (1 + 2 + 2^2)$
$= 2.7 + 2^4 . 7 + \cdots + 2^{58} . 7$
$= 7(2 + 2^4 + \cdots + 2^{58})$
Vậy A chia hết cho 7
Mặt khác
$A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + \cdots + 2^{57} + 2^{58} + 2^{59} + 2^{60}$
$= 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + 2^5(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + \cdots + 2^{57}(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$
$= 2.15 + 2^5.15 + \cdots + 2^{57} . 15$
$= 15(2 + 2^5 + \cdots + 2^{57})$
Vây A chia hết cho 15.
