Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) $PT ⇔ 8x²y² - 8xy + 2 + x² - 2xy + y² = 2$

$ ⇔ 2(2xy - 1)² + (x - y)² = 2$

$ ⇒ (x - y)² ≤ 2 ⇒ (x - y)² = 0; 1 $

Nếu $ (x - y)² = 1 ⇒$ vế trái lẻ không thỏa

$ ⇒ (x - y)² = 0 ⇒ (2xy - 1)² = 1 ⇔ 2xy - 1 = ± 1$

@ $ x = y ; 2xy - 1 = 1 ⇔ xy = 1 ⇒ x = y = ± 1$

@ $ x = y ; 2xy - 1 = - 1 ⇔ xy = 0 ⇒ x = y = 0$

2) $ x² + 2y² + 4z² + 2x(y + z) + 4yz = 15$

$ ⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx + y² + 2yz + z² + 2z² = 15$

$ ⇔ (x + y + z)² + (y + z)² + 2z² = 15 (*)$

$ ⇒ 2z² < 15 ⇒ z² ≤ 4 ⇔ z = 0; ± 1; ± 2$

@ $ z = 0 ; (*) ⇔ (x + y)² + y² = 15 $

Vì 15 không thể = tổng của 2 SCP ⇒ vô nghiệm nguyên

@ $ z² = 4 ; (*) ⇔ (x + y + z)² + (y + z)² = 7 $

Vì 7 không thể = tổng của 2 SCP ⇒ vô nghiệm nguyên

@ $ z = 1 ; (*) ⇔ (x + y + 1)² + (y + 1)² = 13 $ 

$ = 2² + 3² = (-2)² + (-3)² = 3² + 2² = (-3)² + (-2)²$

- Nếu $x + y + 1 = 2; y + 1 = 3 ⇒ x = - 1; y = 2$

- Nếu $x + y + 1 = - 2; y + 1 = 3 ⇒ x = - 5; y = 2$

- Nếu $x + y + 1 = 2; y + 1 = - 3 ⇒ x = 5; y = - 4$

- Nếu $x + y + 1 = - 2; y + 1 = - 3 ⇒ x = 1; y = - 4$

@ $ z = 1 ; (*) ⇔ (x + y + 1)² + (y + 1)² = 13 $ 

$ = 2² + 3² = (-2)² + (-3)² = 3² + 2² = (-3)² + (-2)²$

- Nếu $x + y + 1 = 3; y - 1 = 2 ⇒ x = 1; y = 3$

- Nếu $x + y + 1 = - 3; y - 1 = 2 ⇒ x = - 5; y = 3$

- Nếu $x + y + 1 = 3; y - 1 = - 2 ⇒ x = 5; y = - 1$

- Nếu $x + y + 1 = - 3; y - 1 = - 2 ⇒ x = - 1; y = - 1$

@ $ z = - 1 ; (*) ⇔ (x + y + 1)² + (y + 1)² = 13 $ 

$ = 2² + 3² = (-2)² + (-3)² = 3² + 2² = (-3)² + (-2)²$

- Nếu $x + y - 1 = 2; y - 1 = 3 ⇒ x = - 1; y = 4$

- Nếu $x + y - 1 = - 2; y - 1 = 3 ⇒ x = - 5; y = 4$

- Nếu $x + y - 1 = 2; y - 1 = - 3 ⇒ x = 5; y = - 2$

- Nếu $x + y - 1 = - 2; y - 1 = - 3 ⇒ x = 1; y = - 2$

@ $ z = - 1 ; (*) ⇔ (x + y + 1)² + (y + 1)² = 13 $ 

$ = 2² + 3² = (-2)² + (-3)² = 3² + 2² = (-3)² + (-2)²$

- Nếu $x + y - 1 = 3; y - 1 = 2 ⇒ x = 1; y = 3$

- Nếu $x + y - 1 = - 3; y - 1 = 2 ⇒ x = - 5; y = 3$

- Nếu $x + y - 1 = 3; y - 1 = - 2 ⇒ x = 5; y = - 1$

- Nếu $x + y - 1 = - 3; y - 1 = - 2 ⇒ x = - 1; y = - 1$