1) Tính tất cả cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2. \)2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k} \). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S

ngan_bui_thi_ha

2 năm trước

1) Tính tất cả cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2. \)
2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k} \). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S_1} \).
A.\(\left( {x;\,y} \right) = \left( { - 1;\,1} \right)\)
B.\(\left( {x;\,y} \right) = \left( {1;\,1} \right)\)
C.\(\left( {x;\,y} \right) = \left( {1;\,2} \right)\)
D.\(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,2} \right)\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 18 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nhuhong118

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:1) Tính tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2.\)
Đặt: \({x^{673}} = a;\;\;{y^{673}} = b\;\;\left( {a,\;b \in Z} \right)\)
Phương trình đã cho trở thành: \({a^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\;\;\;\left( * \right)\)
\( \Rightarrow {a^3} = {b^3} - 3{b^2} + 3b - 1 + 2{b^2} - 4b + 3 = {\left( {b - 1} \right)^3} + \left( {2{b^2} - 4b + 3} \right) > {\left( {b - 1} \right)^3}\;\;\left( 1 \right)\)
Lại có: \({a^3} = {b^3} + 6{b^2} + 12b + 8 - 7{b^2} - 13b - 6 = {\left( {b + 2} \right)^3} - \left( {7{b^2} + 13b - 6} \right) < {\left( {b + 2} \right)^3}\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \({\left( {b - 1} \right)^3} < {a^3} < {\left( {b + 2} \right)^3} \Rightarrow b - 1 < a < b + 2\)
Vì \(a,\;b \in Z \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = b + 1\end{array} \right..\)
+) Với \(a = b\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {b^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^2} + b - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 1\\a = b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^{673}} = {y^{673}} = 1\\{x^{673}} = {y^{673}} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = y = \sqrt[{673}]{{ - 2}}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
+) Với \(a = b + 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {b + 1} \right)^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^3} + 3{b^2} + 3b + 1 = {b^3} - {b^2} - b + 2\\ \Leftrightarrow 4{b^2} + 4b - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\b = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;1} \right).\)
2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k}\). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).
Ta có ngay: \({S_1} = 1 + 2 + ....... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh \({S_{2019}}\) chia hết cho n và \(\frac{{n + 1}}{2}\).
Giả sử n lẻ thì \(\frac{{n + 1}}{2}\) nguyên. Sử dụng khai triển Newton ta có:
\({a^{2k + 1}} + {b^{2k + 1}} = (a + b)({a^{2k}} - {a^{2k - 1}}.b + ..... + {b^{2k}}) \vdots \left( {a + b} \right)\)
Do vậy :
\(\begin{array}{l}2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {n^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 1} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{n^{2019}} + {1^{2019}}} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\\2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {{(n - 1)}^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 2} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{{(n - 1)}^{2019}} + {1^{2019}}} \right) + 2.{n^{2019}} \vdots n\end{array}\)
Do\(\left( {n;\;n + 1} \right) = 1\) nên : \(2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right)\) chia hết cho \(n\left( {n + 1} \right).\)
Do vậy: \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2 \). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2 \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy \). Giá trị của \(M + m \) bằng:
A. \( - 4\)
B.\( - \dfrac{1}{2}\)
C.\( - 6\)
D. \(1 - 4\sqrt 2 \)

Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng \(BC: \, \,x + 7y - 13 = 0 \). Các chân đường cao kẻ từ B, C lần lượt là \(E \left( {2;5} \right); \, \,F \left( {0;4} \right) \). Biết tọa độ đỉnh A là \(A \left( {a;b} \right) \). Khi đó :
A.\(a - b = 5\)
B. \(2a + b = 6\)
C.\(a + 2b = 6\)
D.\(b - a = 5\)

Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 27x + 3m - 2 \) đạt cực trị tại \({x_1};{x_2} \) thỏa mãn \( \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5 \). Biết \(S = \left( {a;b} \right] \). Tính \(T = 2b - a \) ?
A. \(T = \sqrt {51} + 6\)
B. \(T = \sqrt {61} + 3\)
C.\(T = \sqrt {61} - 3\)
D.\(T = \sqrt {51} - 6\)

Cho hình chóp S.ABC có A’, B’ lần lượt là trung điểm của \(SA, SB \). Gọi \({V_1}, \, \,{V_2} \) lần lượt là hể tích của khối chóp \(S.A’B’C \) và S.ABC. Tính tỉ số \( \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} \)?
A. \(\dfrac{1}{8}\)
B. \(\dfrac{1}{4}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{3}\)

Phát biểu nào sau đây là sai?
A.Vectơ là đoạn thẳng có hướng.
B. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
C.Vectơ - không cùng phương với mọi vectơ .
D.Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng .

Trong kì kiểm tra cuối học kì I năm học 2016 – 2017, Phòng Giáo dục và Đào tạo quận Nam Từ Liêm đã thành lập 3 tổ công tác Văn, Toán và Anh. Số giáo viên trong 3 tổ lần lượt tỉ lệ với 2 ; 4 và 3. Biết số giáo viên của tổ Toán nhiều hơn tổ Anh là 16 người. Số giáo viên của mỗi tổ công tác lần lượt theo thứ tự Văn, Toán, Anh là:
A.Tổ Văn có 32 giáo viên, tổ Toán có 48 giáo viên, tổ Anh có 64 giáo viên.
B.Tổ Văn có 48 giáo viên, tổ Toán có 64 giáo viên, tổ Anh có 32 giáo viên.
C.Tổ Văn có 64 giáo viên, tổ Toán có 32 giáo viên, tổ Anh có 48 giáo viên.
D.Tổ Văn có 32 giáo viên, tổ Toán có 64 giáo viên, tổ Anh có 48 giáo viên.

\( \frac{{11}}{{24}} - \frac{5}{{41}} + \frac{{13}}{{24}} + 0,5 - \frac{{36}}{{41}} \)
A.0,8
B.1,2
C.0,5
D.0,3

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(y = 2x \)
A.\(\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{2}{3}} \right)\)
B.\(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)

Một vật chịu đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có độ lệch pha π/3. Biên độ của các dao động thành phần là 8 cm và 6 cm. Tính biên độ của dao động tổng hợp
A.0,3m
B.14cm
C.12,2cm
D.16cm

Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc không quá \( \frac{1}{{12}} \). Để phù hợp với tiêu chuẩn ấy thì chiều cao cầu thang tối đa là bao nhiêu khi biết đáy của cầu thang có độ dài là 4m ?
A. Chiều cao tối đa của thang là \(h = \frac{2}{3}\left( m \right)\).
B. Chiều cao tối đa của thang là \(h = \frac{1}{3}\left( m \right)\).
C. Chiều cao tối đa của thang là \(h = \frac{4}{3}\left( m \right)\).
D. Chiều cao tối đa của thang là \(h = \frac{3}{4}\left( m \right)\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến