Xét trường hợp 1: $a<b$
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là $Ox$: $OA<OB$ ($a<b$)
$→A$ nằm giữa $O,B$
$→OA+AB=OB$
$\quad a+AB=b$
$→AB=b-a$ mà $I$ là trung điểm $AB$
$→AI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{b-a}{2}$
$A$ nằm giữa $O,B$ mà $I$ nằm giữa $A,B$
$→A$ nằm giữa $O,I$
$→OA+AI=OI$
$\quad a+\dfrac{b-a}{2}=OI$
$\quad \dfrac{2a+b-a}{2}=OI$
$→\dfrac{a+b}{2}=OI$
Xét trường hợp 2: $a>b$
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là $Ox$: $OA>OB$ ($a>b$)
$→B$ nằm giữa $O,A$
$→OB+AB=OA$
$\quad b+AB=a$
$→AB=a-b$
mà $I$ là trung điểm $AB$
$→BI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a-b}{2}$
$B$ nằm giữa $O,A$ mà $I$ nằm giữa $A,B$
$→B$ nằm giữa $O,I$
$→OB+BI=OI$
$\quad b+\dfrac{a-b}{2}=OI$
$\quad \dfrac{2b+a-b}{2}=OI$
$→\dfrac{a+b}{2}=OI$
Từ hai trường hợp trên suy ra: $OI=\dfrac{a+b}{2}$
