Đáp án: $1)S=\{-0,5;0\}$
$2)Q_{min}=6⇔x=y=z$
Giải thích các bước giải:
$1)ĐKXĐ:-1≤x≤4$
Đặt $a=\sqrt{4-x};b=\sqrt{x+1}(a;b≥0)$
$⇒4-x=a^2;b^2=x+1$
$⇒2x+7=(4-x)+(3x+3)=a^2+3b^2$
Ta có $PT:a-a^2-3b^2+3b-4ab$
$⇔a^2-4ab+3b^2-a+3b=0$
$⇔(a-3b)(a-b)-(a-3b)=0$
$⇔(a-b-1)(a-3b)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}a-b-1=0\\a-3b=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}a=b+1\\a=3b\end{array} \right.$
-Nếu $a=b+1⇔\sqrt{4-x}=\sqrt{x+1}+1$
$⇔4-x=x+1+1+2\sqrt{x+1}$
$⇔2-2x=2\sqrt{x+1}$
$⇔1-x=\sqrt{x+1}$
$⇔(1-x)^2=x+1(-1≤x≤1)$
$⇔x^2-2x+1=x+1$
$⇔x^2-3x=0⇔x(x-3)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0 (tm)\\x-3=0⇔x=3 \text{(loại)})\end{array} \right.$
-Nếu $a=3b⇔\sqrt{4-x}=3\sqrt{x+1}$
$⇔4-x=9(x+1)$
$⇔x+9x=4-9$
$⇔10x=-5$
$⇔x=-0,5(tm)$
$2)$ Trước hết ta có bất đẳng thức sau:
`1)\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2(a;b>0)`
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
`\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2(đpcm)`
`2)\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}≥\frac{3}{2}(a;b;c>0)(*)`
Chứng minh:
`(*)⇔(\frac{a}{b+c}+1)+(\frac{b}{a+c}+1)+(\frac{c}{a+b}+1)≥\frac{3}{2}+3`
`⇔\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}≥\frac{9}{2}`
`⇔[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})≥9`
`⇔\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+1+1+\frac{b+c}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{c+a}{a+b}≥9`
`⇔(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b})+(\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+a}{a+b})+(\frac{b+c}{a+c}+\frac{c+a}{b+c})≥6(**)`
Áp dụng $(1)$ ta thấy $(*)$ luôn đúng
`⇒(*)` được chứng minh
`3)\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{4}{a+b}(a;b>0)`
Chứng minh:
`BĐT⇔\frac{a+b}{ab}≥\frac{4}{a+b}`
`⇔(a+b)^2≥4ab`
`⇔a+b≥2\sqrt{ab}`
Theo $BĐT$ Cauchy thì $BĐT$ trên luôn đúng
$⇒BĐT(3)$ được chứng minh
Dấu bằng xảy ra ở cả $3$ BĐT $⇔a=b=c$
Trở lại bài toán:
Áp dụng $3$ bất đẳng thức vừa chứng minh, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy, ta được:
`Q=\frac{x+z+2z}{x+y}+\frac{z+x+2x}{y+z}+\frac{2y+2y}{x+z}`
`=\frac{x+z}{x+y}+\frac{2z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2y}{x+z}`
`=(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z})+\frac{2y}{x+z}+(\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z})`
`=(x+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})+(\frac{2y}{x+z}+1)+2(\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z})-1`
`≥(x+z)\frac{4}{x+y+y+z}+\frac{2y+x+z}{x+z}+2.\frac{3}{2}-1`
`=\frac{4(x+z)}{x+2y+z}+\frac{x+2y+z}{x+z}+3-1`
`≥2\sqrt{\frac{4(x+z)}{x+2y+z}.\frac{x+2y+z}{x+z}}+2`
`=2\sqrt{4}+2=6`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}x+y=y+z\\x=y=z\\\dfrac{4(x+z)}{x+2y+z}=\dfrac{x+2y+z}{x+z}\end{cases}⇔x=y=z$
