Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hệ thức Vi – ét
2. Sử dụng đánh giá cơ bản \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)
3. Ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN, GTNNGiải chi tiết:1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 1,m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) sao cho \(OI = \sqrt {10} \), với \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\): \({x^2} = 2mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 1 = 0.\)
Vì \(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, hay \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right);B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\).
Theo hệ thức Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {{{\left( {\frac{{2m}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4{m^2} + 2}}{2}} \right)}^2}} \\OI = \sqrt {4{m^4} + 5{m^2} + 1} \end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}OI = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 5{m^2} + 1 = 10\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {4{m^2} + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 1\).
2. Cho phương trình bậc hai \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) có nghiệm kép, trong đó \(x\) là ẩn số và \(a,b,c\) là các tham số. Chứng minh rằng \(a = b = c.\)
\(\begin{array}{l}\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x\left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\end{array}\)
Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a = b = c.\end{array}\)
Hoàn tất chứng minh.
3. Cho \(x,y\) là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: \({x^2} + {y^2} + xy = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^2} + {y^2} - xy\).
Xét \(\frac{M}{3} = \frac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{3} = \frac{{{x^2} + {y^2} - xy}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\)
Nếu \(y = 0 \Rightarrow M = 3\)
Nếu \(y \ne 0:\frac{M}{3} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{x}{y} + 1}}\)
Đặt \(\frac{x}{y} = t \Rightarrow \frac{M}{3} = \frac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}} \Rightarrow \left( {M - 3} \right){t^2} + \left( {M + 3} \right)t + M - 3 = 0\)
Phương trình có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {M + 3} \right)^2} - 4{\left( {M - 3} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {M - 9} \right)\left( {M - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le M \le 9\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(1\), dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \(x = y = 1.\)
Giá trị lớn nhất của \(M\) là \(9\), dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \(x = \sqrt 3 ,y = - \sqrt 3 .\)
