Giải thích các bước giải:
a,
\(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - m + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\begin{array}{l}
TH1:\,\,\,m = 1\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 8x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{8}\,\,\,\,\,\left( {t/m} \right)
\end{array}\)
\(TH2:\,\,\,m \ne 1\)
Phương trình (1) là phương trình bậc 2, có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
Δ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right).\left( { - m + 2} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 + \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 + {m^2} - 3m + 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow 2{m^2} + 3m + 11 \ge 0,\,\,\,\,\forall m
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b,
\(\begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
TH1:\,\,m = 1\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {t/m} \right)\\
TH2:\,\,\,m \ne 1
\end{array}\)
Khi đó, phương trình (2) là phương trình bậc 2, có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
Δ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 6m + 9} \right) - \left( {{m^2} + 2m - 3} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow - 8m + 12 \ge 0\\
\Leftrightarrow 8m \le 12\\
\Leftrightarrow m \le \frac{3}{2}
\end{array}\)
Vậy \(m \le \frac{3}{2}\)
