Đáp án: `-2 ≤ m ≤ 3/2`
Giải thích các bước giải:
$y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)$
$\text{ Ta có}$
`y^' = [x^3 – (m+1)x^2 – (2m^2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) ]^' `
`= 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 – 3m + 2)`
$\text{ Để hàm số đồng biến với mọi }$`x ≥ 2;`
`=> y^' ≥ 0` $\text{ với mọi }$`x ≥ 2`
`⇔ 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 – 3m + 2) ≥ 0` $\text{ với mọi }$ `x ≥ 2`
$\text{ Ta có }$ `Δ' = [-(m+1)]^2 - 3. [- (2m^2 – 3m + 2)] = m^2 + 2m + 1 + 6m^2 - 9m + 6`
`= 7m^2 - 7m + 7`
$\text{ TH1: Với }$ `Δ' ≤ 0`
`=> 7m^2 - 7m + 7 ≤ 0`
`=>` $\text{ vô nghiệm }$
$\text{ Vậy không có giá trị nào của m để Δ' ≤ 0 }$
$\text{ TH2: Δ' > 0 }$
`=> 7m^2 - 7m + 7 > 0`
`=> m ∈ R`
$\text{ Vì Δ' > 0 nên y' có 2 nghiệm phân biệt }$ `x_1` và `x_2`
Ta có bảng xét dấu
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&\text{-∞ x1 x2 +∞} \\\hline y'&\text{ + 0 - 0 + } \\\hline\end{array}
Mà vì `x ≥ 2` $\text{ nên để }$`y^'` $\text{ đồng biến thì }$ `x_1 < x_2 ≤ 2`
$\Rightarrow\begin{cases} x_{1}+x_{2}<4\\(x_{1}-2)(x_{2}-2)≥0\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{2}{3}(m+1)<4\\x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4≥0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- \dfrac{1}{3}(2m^2 – 3m + 2)-2.\dfrac{2}{3}(m+1)+4≥0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- \dfrac{2}{3}m^2-\dfrac{1}{3}m+2≥0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- 2≤ m ≤ \dfrac{3}{2}\end{cases}$
`=> -2 ≤ m ≤ 3/2`
$\text{ Vậy để y đồng biến với }$ `x ≥ 2` $thì$ `-2 ≤ m ≤ 3/2`
