Ta có
$2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{99} + 2^{100} = 2(1 + 2 + 2^2) + 2^4(1 + 2 + 2^2) + \cdots + 2^{97} (1 + 2 + 2^2) + 2^{100}$
$= 7 .2 + 7.2^4 + \cdots + 7.2^{97} + 2^{100}$
$= 7(2 + 2^4 + \cdots + 2^{97}) + 2^{100}$
Ta thấy rằng $7(2 + 2^4 + \cdots + 2^{97})$ chia hết cho 7. Vậy số dư của tổng trên chỉ dựa vào $2^{100}$.
Ta có
- 2 chia 7 dư 2
- $2^2$ chia 7 dư 4
- $2^3$ chia 7 dư 1
- $2^4$ chia 7 dư 2
- $2^5$ chia 7 dư 4
- $2^6$ chia 7 dư 1
Ta thấy rằng
$2^n$ chia 7 dư 1 nếu $n$ chia hết cho 3,
$2^n$ chia 7 dư 2 nếu $n$ chia 3 dư 1,
$2^n$ chia 7 dư 4 nếu $n$ chia 3 dư 2
Ta có $100$ chia 3 dư 1, do đó $2^{100}$ chia 7 dư 2.
Vậy tổng ban đầu chia 7 dư 2.
