Đáp án+Giải thích các bước giải:
`x^2-2(m+1)x+m-4=0`
`Δ'=(-(m+1))^2-(m-4)`
`=m^2+2m+1-m+4`
`=m^2+m+5`
`=m^2+2.(1)/(2).m+(1/2)^2-(1/2)^2+5`
`=(m+1/2)^2+(19)/(4)≥(19)/(4)>0∀m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2∀m`
Theo `Vi-et` ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=2.(m+1)\\x_1.x_2=m-4\end{cases}$
`+)|x_1-x_2|`
`->(|x_1-x_2|)^2`
`=(x_1-x_2)^2`
`=x_1^2+x_2^2-2x_1.x_2`
`=x_1^2+2x_1.x_2+x_2^2-2x_1.x_2-2x_1.x_2`
`=(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2`
`=(2m+2)^2-4.(m-4)`
`=4m^2+8m+4-4m+16`
`=4m^2+4m+20`
`=(2m)^2+2.2m+1+19`
`=(2m+1)^2+19`
Vì `(2m+1)^2≥0∀m=>(2m+1)^2+19≥19∀m`
`=>\sqrt{(x_1-x_2)^2}≥\sqrt{19}∀m`
`=>|x_1-x_2|≥\sqrt{19}`
Dấu bằng xảy ra`<=>(2m+1)^2=0`
`⇔2m+1=0⇔m=-1/2`
Vậy `m=-1/2` thì `|x_1-x_2|` đạt GTNN là `\sqrt{19}`
