Đáp án: $(x;y)∈\{(2;0);(-2;0)\}$
Giải thích các bước giải:
Từ $x^2+x^2y^2=4+xy$
$⇔4x^2+4x^2y^2=16+4xy$
$⇔4x^2+(4x^2y^2-4xy+1)=17$
$⇔(2x)^2+(2xy-1)^2=17$
Do $x;y∈N$
$⇒2x∈N;2xy-1∈Z$
$⇒(2x)^2;(2xy-1)^2$ là các số chính phương
Do $2x\vdots2⇒(2x)^2\vdots2$
Ta có: $17=1+16$
Do vậy chỉ xảy ra trường hợp: $\left \{ {{(2x)^2=16} \atop {(2xy-1)^2=1(*)}} \right.$
Từ $(2x)^2=16⇔4x^2=16⇔x^2=4⇔x=±2$
-Nếu $x=2$ thay vào $(*)$ ta được:
$(2.2y-1)^2=1⇔(4y-1)^2=1$
$⇔\left[ \begin{array}{l}4y-1=1\\4y-1=-1\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}y=0,5\\y=0\end{array} \right.$
Do $y∈N⇒y=0$
-Nếu $x=-2$ thay vào $(*)$ ta được:
$[2.(-2)y-1]^2=1⇔(-4y-1)^2=1$
$⇔\left[ \begin{array}{l}-4y-1=1\\-4y-1=-1\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}y=-0,5\\y=0\end{array} \right.$
Do $y∈N⇒y=0$
Vậy phương trình có nghiệm $(x;y)∈\{(2;0);(-2;0)\}$
