Đáp án:
\[x = 1\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le \frac{{13}}{4}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
2\sqrt {x + 3} + \sqrt {13 - 4x} = {x^2} + 4x + 2\\
\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right) + \left( {\sqrt {13 - 4x} - 3} \right) = {x^2} + 4x - 5\\
\Leftrightarrow 2.\frac{{x + 3 - 4}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{{13 - 4x - 9}}{{\sqrt {13 - 4x} + 3}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)\\
\Leftrightarrow 2.\frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{{4 - 4x}}{{\sqrt {13 - 4x} + 3}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\\
\frac{2}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \frac{4}{{\sqrt {13 - 4x} + 3}} + x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Lại có:
\( - 3 \le x \le \frac{{13}}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 3} + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le 1\\
x + 5 \ge 2 \Rightarrow \frac{4}{{3 + \sqrt {13 - 4x} }} + x + 5 > 2
\end{array} \right.\)
Suy ra pt (1) vô nghiệm
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\)
