Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có :
[√(k + 1) + √k].[√(k + 1) - √k] = √(k + 1)² - √k² = (k + 1) - k = 1
⇒ √(k + 1) - √k = 1/[√(k + 1) + √k] < 1/[√k + √k] = 1/2√k
⇔ 2√(k + 1) - 2√k < 1/√k (1)
Áp dụng (1) với k = 2, 3...n ta có:
2√3 - 2√2 < 1/√2
2√4 - 2√3 < 1/√3
...................................
2√n - 2√(n - 1) < 1/√n
Cộng tất cả lại:
2√n - 2√2 < 1/√2 + 1/√3 + ...+ 1/√n (2)
Mà 2√2 - 3 < 0 (3)
Công (2) với (3) vế với vế ta có :
2√n - 3 < 1/√2 + 1/√3 + ...+ 1/√n (*)
Cung từ hệ thức :
√(k + 1) - √k = 1/[√(k + 1) + √k] > 1/[√(k + 1) + √(k + 1)] = 1/2√(k +1)
⇔ 1/√(k + 1) < 2√(k + 1) - 2√k < (4)
Áp dụng (4) với k = 1; 2, 3...n ta có:
1/√2 < 2√2 - 2
1/√3 < 2√3 - 2√2
...................................
< 1/√n < 2√n - 2√(n - 1)
Cộng tất cả lại:
1/√2 + 1/√3 + ...+ 1/√n < 2√n - 2 (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có
2√n - 3 < 1/√2 + 1/√3 + ...+ 1/√n < 2√n - 2 (đpcm)
