Đáp án:
`3/4 + 8/9 + 15/16 +... +2499/2500>48`
Giải thích các bước giải:
`3/4+8/9+15/16+...+2499/2500`
ta thấy :
`3/4=1-3/4=1/4` `=>` `1-1/4=3/4`
`8/9=1-8/9=1/9` `=>` `1-1/9=8/9`
ta làm tưởng tự với các phân số khác nên :
`3/4+8/9+15/16+...+2499/2500`
`=(1-1/4)+(1-1/9)+(1-1/16)+...+(1-1/2500)`
`=1-1/4+1-1/9+1-1/16+...+1-1/2500`
`=(1+1+1+...+1)-(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)`
ta thấy `1+1+1+...+1` có `49` số 1 nên ta có :
`=49-(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)`
ta thấy `(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)` có thể viết ra là :
`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2`
nên ta xét `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2`
_____________________________________________________
`1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2`
ta xét :
`1/2^2<1/1.2`
`1/3^2<1/2.3`
`1/4^2<1/3.4`
`.....`
`1/50^2<1/49.50`
`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/49.50`
ta tính dãy số : `1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/49.50`
`=` `1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/49-1/50`
`=` `1-(1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-...-1/49+1/50)`
`=` `1-1/50`
`=` `49/50`
`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `49/50` `<` `1`
nên : `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `1`
`=>` `-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `-1`
`=>` `49-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `49-1`
`=>` `49-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `48`
`=>` điều phải chứng minh ( dpcm )
vậy `3/4 + 8/9 + 15/16 +... +2499/2500>48`
