Bài 40:
Ta có: A = 13^19 +1 / 13^18 +1
⇒ 1/13 A = 13^19 +1 / 13. (13^18 +1)
⇒ 1/13 A = 13^19 +1 / 13^19 +13
⇒ 1/13 A = 13^19 + 13 -12 / 13^19 + 13
⇒ 1/13 A = 1 - 12/13^19 + 13
Tương tự với B, ta có: 1/13 B = 1 - 12/13^20 + 13
Ta thấy: 13^19 + 13 < 13^20 + 13 (do 13^19 < 13^20)
⇒ 12/ 13^19 + 13 > 12/ 13^20 + 13 (so sánh cùng tử bạn nhé)
⇒ 1 - 12/ 13^19 + 13 < 1 - 12/ 13^20 + 13
⇒ 1/13 A < 1/13 B
⇒ A < B
Vậy A < B
Bài 41:
a) Gọi d là ƯC ( 6n+5, 3n+2 ), d ∈ N*
⇒ 6n+5 chia hết d và 3n+2 chia hết d
⇒ 6n+5 chia hết d và 2(3n+2) chia hết d
⇒ 6n+5 chia hết d và 6n+4 chia hết d
⇒ (6n+5)-(6n+4) chia hết d
⇒ 6n+5-6n-4 chia hết d
⇒ 1 chia hết d mà d ∈ N*
⇒ d=1
⇒ (6n+5, 3n+2)=1
⇒ p là phân số tối giản (đpcm)
b) Ta có: 6n+5 / 3n+2
= 2.(3n+2)+1 / 3n+2
= 2 + 1/3n+2
Để p đạt giá trị lớn nhất ⇔ 1/3n+2 đạt giá trị lớn nhất
Mặt khác, n ∈ N ⇒ 3n+2 ∈ N mà 3n+2 là mẫu số
⇒ 3n+2 > 0
⇒ 3n > -2 ⇒ n > -1
Lại có: 1/3n+2 đạt giá trị lớn nhất ⇔ 3n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất
+) Nếu 3n+2 = 1 ⇒ n = -1/3 (loại do n ∈ N)
+) Nếu 3n+2 = 2 ⇒ n = 0 (thỏa mãn n ∈ N và n > -1)
Khi đó. p = 6.0+5 / 3.0+2 = 5/2
Vậy Max p = 5/2 ⇔ n = 0
Bài 42:
Gọi d là ƯC ( 5n+6, 8n+7), d ∈ N*
⇒ 5n+6 chia hết d và 8n+7 chia hết d
⇒ 8(5n+6) chia hết d và 5(8n+7) chia hết d
⇒ 40n + 48 chia hết d và 40n+35 chia hết d
⇒ (40n+48)-(40n+35) chia hết d
⇒ 40n+48-40n-35 chia hết d
⇒ 13 chia hết d mà d ∈ N*
⇒ d ∈ Ư(13) = {1,13}
Để A là phân số rút gọn được ⇔ d = 13
⇒ 5n+6 chia hết 13
⇒ 5n+6+39 chia hết 13 (vì 39 chia hết 13)
⇒ 5n+45 chia hết 13
⇒ 5(n+9) chia hết 13 mà 5 ko chia hết 13
⇒ n+9 chia hết 13
⇒ n+9 = 13k (k ∈ N)
⇒ n = 13k-9 (k ∈ N)
Khi đó, 5n+6 = 5(13k-9)+6 = 65k-45+6 = 65k-39 = 13(5k-3) chia hết 13 (thỏa mãn)
Vậy A là phân số rút gọn được ⇔ n = 13k-9 (k ∈ N)
*Tick cho mik nha, mik mất công sức nhìu rồi đó, chúc bạn học tốt nhé!*
