` (4x)/(x^2-5x+6) + (3x)/(x^2-7x+6) = 6` 

`\to (4x(x^2-7x+6))/((x^2-5x+6)(x^2-7x+6)) + (3x(x^2-5x+6))/((x^2-5x+6)(x^2-7x+6))`

`\to 4x(x^2-7x+6) + 3x(x^2-5x+6) = 6(x^2-5x+6)(x^2-7x+6)`

`\to 4x^3 - 28x^2 + 24x + 3x^3 -15x^2 +18x = 6 ( x^4 - 12x^3+47x^2-72x +36)`

`\to 6x^4 - 72x^3 + 282x^2 - 432x +216= 4x^3 - 28x^2 + 24x + 3x^3 -15x^2 +18x`

`\to 6x^4 -79x^3+325x^2-474x+216 = 0`

`\to 6x^4 - 46x^3 + 36x^2 - 33x^3+253x^2 - 198x + 36x^2 -276x + 216=0`

`\to 2x^2(3x^2-23x+18)  - 11x(3x^2-23x+18) + 12(3x^2-23x+18) = 0`

`\to (2x^2-11x+12)(3x^2-23x+18) = 0`

`to (x-4)(2x-3)(3x^2-23x+18) = 0`

`\to` \(\left[ \begin{array}{l}x-4=0\ \ (1)\\\\2x-3=0\ \ (2)\\\\3x^2-23x+18=0\ \ (3)\end{array} \right.\) 

Xét ` (1) \leftrightarrow x - 4 = 0 \to x = 4`

Xét `(2) \leftrightarrow 2x- 3 = 0 \to 2x = 3 \to x = 3/2`

Xét ` (3) \leftrightarrow 3x^2-23x+18=0`

`\to 3(x^2 - 23/3x) + 18 = 0`

`\to 3(x^2 - 2. 23/6 . x + 526/36) - 313/12 = 0`

`\to 3( x - 23/6)^2 = 313/12`

`\to (x-23/6)^2 =313/36`

`\to \(\left[ \begin{array}{l}x-\dfrac{23}{6}=\dfrac{\sqrt{313}}{6}\\\\x-\dfrac{23}{6}=\dfrac{-\sqrt{313}}{6}\end{array} \right.\) 

`\to` \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{23}{6}+\dfrac{\sqrt{313}}{6} =\dfrac{23+\sqrt{313}}{6}\\\\x=\dfrac{23}{6}-\dfrac{\sqrt{313}}{6}= \dfrac{23-\sqrt{313}}{6}\end{array} \right.\) 

Vậy ` x \in { \dfrac{23+\sqrt{313}}{6};\ \dfrac{23-\sqrt{313}}{6};\ 4;\ 3/2 }`

Đáp án + giải thích các bước giải:

`(x\ne1;2;3;6)`

Với `x=0`, phương trình có dạng 

`0=6` (vô lý) 

Với `x\ne0`, ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho `x`, phương trình có dạng 

`4/(x-5+6/x)+3/(x-7+6/x)=6`

Đặt `x+6/x=a`, phương trình có dạng 

`4/(a-5)+3/(a-7)=6`

`->4(a-7)+3(a-5)=6(a-5)(a-7)`

`->4a-28+3a-15=6(a^2-12a+35)`

`->7a-43=6a^2-72a+210`

`->6a^2-79a+253=0`

`->6a^2-33a-46a+253=0`

`->3a(2a-11)-23(2a-11)=0`

`->(3a-23)(2a-11)=0`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}a=\dfrac{23}{3}\\a=\dfrac{11}{2}\end{array} \right.\) 

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{6}{x}=\dfrac{23}{3} (1)\\x+\dfrac{6}{x}=\dfrac{11}{2}(2)\end{array} \right.\) 

`(1)->x^2+6-23/3 x=0`

`->3x^2-23x+18=0`

`Δ=313`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{23-\sqrt{313}}{6}\\x=\dfrac{23+\sqrt{313}}{6}\end{array} \right.(TM)\) 

`(2)->x^2+6-11/2 x=0`

`->2x^2+12-11x=0`

`->2x^2-8x-3x+12=0`

`->2x(x-4)-3(x-4)=0`

`->(2x-3)(x-4)=0`

`->`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{3}{2}\\x=4\end{array} \right.(TM)\)