$\begin{array}{l}
{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\\
\Leftrightarrow {x^4} - {x^3}y + {y^4} - x{y^3} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {y - x} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\underbrace {\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}_{ > 0} \ge 0\\
\end{array}$
Vậy bất đẳng thức luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$
