a,

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

$\Delta AHB$ và $\Delta BAC$ có:

$\widehat{B}$ chung 

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o$

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta BAC$ (g.g)    (*)

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AH=4,8(cm)$

(*) $\Rightarrow \dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3,6(cm)$

$\Delta AHB, \widehat{H}=90^o \Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4,8(cm)$

Tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AH=EF=4,8(cm)$

b,

$AEHF$ là hình chữ nhật nên 2 đường chéo cắt tại trung điểm mỗi đường.

$\Rightarrow \Delta EHI$ cân tại $I$ ($IH=IE$)

$\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{IHE}$

$\Delta BEH$ có $\widehat{BEH}=180^o-\widehat{AEH}=90^o$

Mà $EM$ là trung tuyến nên $EM=\dfrac{1}{2}BH=MH$

$\Delta EMH$ cân tại $M$ nên $\widehat{MEH}=\widehat{MHE}$

$\Rightarrow \widehat{IEH}+\widehat{MEH}=\widehat{IHE}+\widehat{MHE}$

$\Rightarrow \widehat{MEI}=\widehat{MHI}=90^o$

Tương tự, $\widehat{EFN}=90^o$

Vậy tứ giác $EMNF$ là hình thang vuông tại $E, F$

$HC=BC-BH=6,4(cm)$

$EM=MH=\dfrac{1}{2}BH=1,8(cm)$

$FN=NH=\dfrac{1}{2}HC=3,2(cm)$

$\Rightarrow MN=NH+MH=5(cm)$

$C_{MNFE}=MN+EM+EF+FN=5+1,8+3,2+4,8=14,8(cm)$

$S_{MNFE}=\dfrac{1}{2}(ME+FN).EF=12(cm^2)$ 

(tự vẽ hình nhé)

a) áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác abc,có:bc^2=ab^2+ac^2=6^2+8^2=36+64=100

mà bc>0 nên bc=10cm

ta có:ab.ac=ah.bc nên ah=(ab.ac)/bc=(6.8)/10=4,8(cm)

tứ giác aehf,có:góc a=góc e=góc f=90 độ nên là hình chữ nhật

suy ra ef=ah=4,8cm (2 đường chéo của hình chữ nhật)

b)gọi giao điểm của ef và ah là i. suy ra ie=ih (tính chất hình chữ nhật) nên tam giác eih cân tại i 

nên góc ieh=góc ihe.      (1)

lại có em là đường trung tuyến của tam giác vuông beh nên em=bh/2=mh suy ra tam giác emh cân tại m suy ra góc meh=mhe      (2)

từ (1) và (2),ta có:góc ieh+góc meh=góc ihe+góc mhe 

hay góc mei=góc mhi=90 độ     nên me vuông góc với ef    (3)

t.tự :góc ifn=góc ihn=90 độ   nên fn vuông góc với ef   (4)

từ (3) và (4) suy ra em//fn (cùng vuông góc với ef) 

từ trên suy ra mnfe là hình thang vuông