Đáp án:
A
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} = {x^2} - 5x + 2 - m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) - {\log _2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {2{x^2} - x + 1} \right) - \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) - {\log _2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) - 1 = 2\left( {2{x^2} - x + 1} \right) - \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) - {\log _2}\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) = \left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) = {\log _2}\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {4{x^2} - 2x + 2} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\) ta có
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\)
\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{x^2} + 3x + m + 1 = 4{x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 - m = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 25 - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} > 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21 - 4m > 0\\5 > 2\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{21}}{4}\\1 - m - 5 + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{21}}{4}\\m < - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m < - 5\end{array}\)
Chọn A.
