Xét pt hoành độ giao điểm của $(P)$ và đường thẳng $d$ :
x^2 = 2.(m+1)x -2m+4$
$⇔x^2 -2.(m+1)x+2m-4=0$ (1)
Ta có : $Δ = b^2-4ac$
$ = [-2.(m+1)]^2 -4.(2m-4)$
$ = 4.(m^2+2m+1) - 8m + 16$
$ = 4m^2 + 20 > 0 $
$\to $ Pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
$\to (P)$ cắt $d$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1},x_{2}$
Theo định lý Vi - et ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2} = 2(m+1)\\x_{1}.x_{2} = 2m-4\end{array} \right.$
Khi đó : $A = x_{1}.\bigg(1-\dfrac{x_{2}}{2}\bigg) +x_{2}.\bigg(1-\dfrac{x_{1}}{2}\bigg)$
$ = x_{1}+x_{2} - x_{1}x_{2}$
$ = 2.(m+1)-(2m-4) = 6$ không phụ thuộc vào $m$
$\to đpcm$
