(Sao câu a không bảo tính gì thế em,anh thấy nó sai sai nên chỉ làm câu b và câu c thôi em nhé! Câu a của anh làm là câu b của em viết còn Câu b của anh làm là câu c của em viết)
a) Ta có:
{ DE song song với AM (gt) => DE/ AM = BD / BM (Định lí Thalès)
{ DF song song với AM (gt) => DF / AM = CD / CM (Định lí Thalès)
⇔ DE / AM + DF / AM = BD / BM + CD / CM
⇔ (DE + DF) / AM = BD / (BC/2) + CD / (BC/2) = (BD + CD) / (BC/2)
(Vì AM là trung tuyến trong tam giác ABC => M là trung điểm của BC => BM = CM = BC/2)
⇔ (DE + DF) / AM = BC / (BC/2) = 2BC / BC = 2
⇔ DE + DF = 2AM (điều phải chứng minh)
b)
Xét tứ giác ANDM có: AN // DM (gt) và DN // AM (gt)
⇒ Tứ giác ANDM là hình bình hành => AN = DM
Ta có: AN // BD (gt)
⇒ AN / BD = NE / DE (Định lí Thalès)
⇔ NE = (DE . AN) / BD
Ta có: DE + DF = 2AM (cm câu a)
⇔ DE + (DE + NE + NF) = 2AM
⇔ 2DE + EF = 2AM
⇔ EF = 2AM - 2DE = 2(AM - DE)
⇔ EF = 2. {[(DE . BM) / BD] - DE} = 2. [(DE . BM - DE . BD) / BD]
(do DE/ AM = BD / BM => AM = (DE . BM) / BD )
⇔ EF = 2. [DE . (BM - BD) / BD]
⇔ EF = 2. (DE . DM) / BD = 2 . (DE . AN) / BD (vì AN = DM)
⇔ EF = 2NE
⇔ NE = EF / 2
Vậy N là trung điểm của EF
