Giải thích các bước giải:
Cho $P=\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1 }, x≥0$
$a, P$ với $1:$
Giả sử: $P>1$:
$⇔\frac{\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}+1}>1⇔\frac{\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}+1}-\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1}>0$
$⇔\frac{2 }{\sqrt[]{x}+1}>0$
Vì $\sqrt[]{x}≥0$
$⇒\frac{2 }{\sqrt[]{x}+1}>0$ (Luôn đúng)
Vậy $P>0.$
$b,$
Giả sử: $P=|P|$
$⇔\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1}=|\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1 }|$
$⇔(\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1})^2=(|\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1 }|)^2$
$⇔0=0$ (Luôn đúng)
Vậy $P=|P|.$
$c,$
Giả sử: $P >\sqrt[]{P}$
$⇔\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1} > \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1 }}$
$⇔(\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1})^2>(\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1 }})^2$
$⇔\frac{x+6.\sqrt[]{x}+9 }{(\sqrt[]{x}+1)^2 }>\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1}$
$⇔\frac{x+6.\sqrt[]{x}+9-( \sqrt[]{x}+3)}{(\sqrt[]{x}+1)^2 } >0$
$⇔\frac{x+5.\sqrt[]{x}+6}{(\sqrt[]{x}+1)^2 } >0$ (Luôn đúng)
Vậy $P > \sqrt[]{P}.$
$d,$
Giả sử: $P^2>P$
$⇔(\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1})^2>\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1}$
$⇔\frac{x+6.\sqrt[]{x}+9 }{(\sqrt[]{x}+1)^2 }>\frac{\sqrt[]{x}+3 }{\sqrt[]{x}+1}$
$⇔\frac{x+6.\sqrt[]{x}+9-( \sqrt[]{x}+3)}{(\sqrt[]{x}+1)^2 } >0$
$⇔\frac{x+5.\sqrt[]{x}+6}{(\sqrt[]{x}+1)^2 } >0$ (Luôn đúng)
Vậy $P^2>P.$
