`a)` $MNPQ$ là hình chữ nhật
`=>MQ=NP=3cm`
Xét $∆MNQ$ vuông tại $M$ có $MH\perp NQ$
`=>1/{MH^2}=1/{MQ^2}+1/{MN^2}` (hệ thức lượng)
`=>1/{MH^2}=1/{3^2}+1/{4^2}={25}/{144}`
`=>MH^2={144}/{25}=>MH=\sqrt{{144}/{25}}=2,4cm`
Vậy `MH=2,4cm`
$\\$
`b)` Xét $∆MNQ$ vuông tại $M$ có $MH\perp NQ$
`=>MH^2=HQ.HN` (hệ thức lượng) `\quad (1)`
$\\$
Xét $∆QHI$ và $∆KHN$ có:
`\qquad \hat{QHI}=\hat{KHN}=90°`
`\qquad \hat{HQI}=\hat{HKN}` (cùng phụ `\hat{QNP}`)
`=>∆QHI∽∆KHN` (g-g)
`=>{HI}/{HN}={HQ}/{HK}`
`=>HQ.HN=HI.HK` $\quad (2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>MH^2=HI.HK` (đpcm)
$\\$
`c)` Vì $D;E$ lần lượt là trung điểm $HQ; NP$
`=>HQ=2HD;NP=2NE`
$\\$
Xét $∆MNH$ vuông tại $H$
`=>sin\hat{MNH}={MH}/{MN}` $(3)$
Xét $∆MHQ$ vuông tại $H$
`=>sin\hat{HMQ}={HQ}/{MQ}={HQ}/{NP}`
`={2HD}/{2NE}={HD}/{NE}`
Mà `\hat{MNQ}=\hat{MNH}=\hat{HMQ}` (cùng phụ `\hat{MQN}`) $(4)$
`=>{MH}/{MN}={HD}/{NE}`
$\\$
Xét $∆MHD$ và $∆MNE$ có:
`\qquad \hat{MHN}=\hat{MNE}=90°`
`\qquad {MH}/{MN}={HD}/{NE}` (c/m trên)
`=>∆MHD∽∆MNE` (c-g-c)
`=>{MH}/{MN}={MD}/{ME}` $(5)$
$\\$
Từ `(3);(4);(5)=>sin\hat{MNQ}={MD}/{ME}` (đpcm)
