Đáp án:
Giải thích các bước giải:
- a) $\Delta DAC=\Delta BAE$
$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có:
$\,\,\,\,\,\,\widehat{DAB}=\widehat{CAE}\,\,\,\,\,\,\,\left( =60{}^\circ \right)$
$\to \widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}$
$\to \widehat{DAC}=\widehat{BAE}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta DAC$ và $\Delta BAE$, ta có:
$AD=AB$ ( Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều )
$\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ ( chứng minh trên )
$AC=AE$ ( Vì $\Delta ACE$ là tam giác đều )
$\to \Delta DAC=\Delta BAE$ ( cạnh – góc – cạnh )
- b) Chứng minh $DC=BE=AF$
$\bullet \,\,\,\,\,$Vì $\Delta DAC=\Delta BAE$ ( chứng minh trên )
$\to DC=BE$ ( hai cạnh tương ứng )
$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có:
$\,\,\,\,\,\,\widehat{ECA}=\widehat{FCB}\,\,\,\,\,\,\,\left( =60{}^\circ \right)$
$\to \widehat{ECA}+\widehat{BCA}=\widehat{FCB}+\widehat{BCA}$
$\to \widehat{ECB}=\widehat{ACF}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta ECB$ và $\Delta ACF$, ta có:
$CE=CA$ (Vì $\Delta ACE$ là tam giác đều )
$\widehat{ECB}=\widehat{ACF}$ ( chứng minh trên )
$CB=CF$ ( Vì $\Delta BCF$ là tam giác đều )
$\to \Delta ECB=\Delta ACF$
$\to BE=AF$ ( 2 cạnh tương ứng )
Mà $BE=DC$ ( chứng minh trên )
Vậy $DC=BE=CF$
- c) Chứng minh $\widehat{COE}=60{}^\circ $
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta BOC$ có $\widehat{COE}$ là góc ngoài của tam giác
$\widehat{COE}=\widehat{OBC}+\widehat{OCB}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Vì: $\begin{cases}\Delta{DAC}=\Delta{BAE}\\\Delta{ECB}=\Delta{ACF}\end{cases}$ ( do chứng minh ở trên )
Nên ta có thể chứng minh tương tự được:
$\Delta DBC=\Delta ABF$
$\to \widehat{OCB}=\widehat{AFB}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( 2 góc tương ứng )
$\bullet \,\,\,\,\,$$\Delta ECB=\Delta ACF$ ( chứng minh trên )
$\to \widehat{OBC}=\widehat{AFC}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ ( 2 góc tương ứng )
$\bullet \,\,\,\,\,$Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\widehat{OCB}+\widehat{OBC}=\widehat{AFB}+\widehat{AFC}$
$\to \widehat{COE}=\widehat{BFC}$
$\to \widehat{COE}=60{}^\circ $ ( Vì $\widehat{BFC}=60{}^\circ $ )
- d) Chứng minh $\widehat{AOB}=120{}^\circ $
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta AOE$ có $\widehat{AOB}$ là góc ngoài của tam giác
Nên $\widehat{AOB}=\widehat{OEA}+\widehat{OAE}$
$\to \widehat{AOB}=\widehat{OEA}+\widehat{OAC}+\widehat{CAE}$
$\to \widehat{AOB}=\widehat{OEA}+\widehat{OAC}+60{}^\circ $
Mà $\widehat{OAC}=\widehat{OEC}$ ( Vì $\Delta ACF=\Delta ECB$, hai góc tương ứng )
Nên $\widehat{AOB}=\widehat{OEA}+\widehat{OEC}+60{}^\circ $
$\to \widehat{AOB}=\widehat{AEC}+60{}^\circ $
$\to \widehat{AOB}=60{}^\circ +60{}^\circ $
$\to \widehat{AOB}=120{}^\circ $
