Áp dụng bất đẳng thức $Cô-si$ cho 3 số dương
$1 + {a^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = 3ab \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {1 + {a^3} + {b^3}} }}{{ab}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {ab} }}$
Tương tự ta có:
$\dfrac{{\sqrt {1 + {b^3} + {c^3}} }}{{bc}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {bc} }};\dfrac{{\sqrt {1 + {c^3} + {a^3}} }}{{ac}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {ac} }}$
Mặt khác:
$\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {bc} }} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {ca} }} \ge 3\sqrt 3 .\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{abc}}}} = 3\sqrt 3$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
