Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
ĐK: `x \ge 0, x \ne 1`
a) `A=\frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(1-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}+\frac{1-\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}+\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
`A=\frac{-x-2\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}+\frac{1-\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}+\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
`A=\frac{-x-2\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
`A=\frac{-x+1}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
`A=\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+2)(1-\sqrt{x})}`
`A=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}`
b) `B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}`
ĐK: `x \ge 0`
`S=A.B`
`S=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}`
`S=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}`
Xét hiệu `S-3/2`
`S-3/2=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} - 3/2`
`S-3/2=\frac{2(\sqrt{x}+3)}{2(\sqrt{x}+2)} - \frac{3(\sqrt{x}+2)}{2(\sqrt{x}+2)}`
`S-3/2=\frac{2\sqrt{x}+6-3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+2}`
`S-3/2=\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}`
Ta có: `x \ge 0 ⇒ \sqrt{x} \ge 0 ⇒ \sqrt{x}+2 \ge 2 \forall x`
`⇒` Mẫu dương
`x \ge 0 ⇒ \sqrt{x} \ge 0 ⇒ -\sqrt{x} \le 0 \forall x`
`⇒` Tử âm
Do đó: `S-3/2 \le 0 ⇔ S \le 3/2`
Vậy `S \le 3/2` (đpcm)
