a) $AB//CD$

$→\widehat{IAB}=\widehat{ICD} ; \widehat{IBA}=\widehat{IDC}$

Xét hai tam giác : $ΔIAB$ và $ΔICD$ có :

$\widehat{IAB}=\widehat{ICD}$

$\widehat{IBA}=\widehat{IDC}$

$→ΔIAB ~ ΔICD ( g . g )$

b)

Theo câu a) $→\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IB}{ID}$ hay $\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{ID}{IB}$

$IM//AB$ , theo hệ quả của định lí Ta-lét , ta có :

$\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{IM}{AB}$

Tương tự $: \dfrac{IC}{IA}=\dfrac{IN}{AB}$

Mà $\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{ID}{IB}$

$→\dfrac{IM}{AB}=\dfrac{IN}{AB}$

$→IM=IN$

c)

$IM=IN$ → $I$ là trung điểm của $MN$

Gọi giao điểm của $KI$ với $AB$ và $CD$ lần lượt là $E , F$

Ta có : $AE//MI$ , theo hệ quả của định lí Ta-lét :

$→\dfrac{AE}{MI}=\dfrac{KE}{KI}$

$BE//IN$ , theo hệ quả của định lí Ta-lét :

$→\dfrac{BE}{IN}=\dfrac{KE}{KI}$

$→\dfrac{AE}{IM}=\dfrac{BE}{IN}$

Mà $IM=IN$ → $AE=BE$

$→E$ là trung điểm của $AB$

Tương tự , ta chứng minh được : $\dfrac{MI}{DF}=\dfrac{IN}{FC}$

$→DF=FC$

$→F$ là trung điểm của $CD$

Vậy $KI$ đi qua trung điểm của $AB , CD$

`a)`

Vì `AB``/``/``CD(g``t)`

`⇒hat{B_1}=hat{D_1}(2` góc so le trong `)`

Xét `ΔIAB` và `ΔICD` có:

   `hat{B_1}=hat{D_1}(cmt)`

 `hat{AIB}=hat{CID}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒ΔIAB`$\sim$`ΔICD(g.g)(đpcm)`

`b)`

Xét `ΔABC` có `IN``/``/``AB(g``t)`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                            `(CI)/(CA)=(IN)/(AB)(1)`

Xét `ΔBAD` có `IM``/``/``AB(g``t)`, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                            `(DI)/(DB)=(IM)/(AB)(2)`

Xét `ΔIAB` có `AB``/``/``CD(g``t)`, áp dụng hệ quả của  định lý Ta-lét ta có:

                            `(DI)/(BI)=(CI)/(AI)`

                      `⇒(DI)/(DI+BI)=(CI)/(CI+AI)`

                      `⇒(DI)/(DB)=(CI)/(CA)(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)⇒(IM)/(AB)=(IN)/(AB)`

                          `⇒IM=IN(đpcm)`

`c)`

Gọi `E` là giao điểm của `KI` và `AB`

Vì `AB``/``/``MI(g``t)`

Hay `AE``/``/``MI`

Vì `AE``/``/``MI(cmt)` ,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                         `(KE)/(KI)=(EA)/(IM)(4)`

Vì `AB``/``/``IN(g``t)`

Hay `EB``/``/``IN`

Vì `EB``/``/``IN(cmt)`,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                         `(KE)/(KI)=(EB)/(IN)(5)`

Từ `(4)` và `(5)⇒(EA)/(IM)=(EB)/(IN)`

Mà `IM=IN(cmt)`

`⇒EA=EB`

`⇒E` là trung điểm của `AB`

`⇒KI` đi qua trung điểm của `AB`

Gọi `F` là giao điểm của `KI` và `CD`

Vì `IM``/``/``CD(g``t)`

Hay `IM``/``/``FD`

Vì `IM``/``/``FD(cmt)` ,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                         `(KI)/(KF)=(IM)/(FD)(6)`

Vì `NI``/``/``CD(g``t)`

Hay `NI``/``/``CF`

Vì `NI``/``/``CF(cmt)`,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét ta có:

                         `(KI)/(KF)=(IN)/(FC)(7)`

Từ `(6)` và `(7)⇒(IM)/(FD)=(IN)/(FC)`

Mà `IM=IN(cmt)`

`⇒FD=FC`

`⇒F` là trung điểm của `CD`

`⇒KI` đi qua trung điểm của `CD`

Vậy `KI` đi qua trung điểm của `AB` và `CD`