CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!
Giải thích các bước giải:
a) Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\,(=90^o)$
$\widehat{B}$ chung
$⇒ΔABC\sim ΔHBA\,(g.g)$
$⇒\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}$
$⇒AB^2=BH.BC$ (Đpcm)
$ΔABC$ vuông tại $A$
$⇒BC^2=AB^2+AC^2=15^2+20^2=625$
$⇒BC=25\,(cm)$
Áp dụng đẳng thức vừa chứng minh:
$AB^2=BH.BC$
$⇒BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=9\,(cm)$
$⇒CH=BC-BH=25-9=16\,(cm)$
b) Xét $ΔHBA$ và $ΔMHA$ có:
$\widehat{BHA}=\widehat{HMA}\,(=90^o)$
$\widehat{A}$ chung
$⇒ΔHBA\simΔMHA\,(g.g)$
$⇒\dfrac{HA}{BA}=\dfrac{MA}{HA}$
$⇒AH^2=AM.AB\,\,(1)$
Xét $ΔHCA$ và $ΔNHA$ có:
$\widehat{CHA}=\widehat{HNA}\,(=90^o)$
$\widehat{A}$ chung
$⇒ΔHCA\simΔNHA\,(g.g)$
$⇒\dfrac{HA}{CA}=\dfrac{NA}{HA}$
$⇒AH^2=AN.AC\,\,(2)$
Từ $(1)$ và $(2)⇒AM.AB=AN.AC$ (Đpcm)
c) Từ đẳng thức đã cứng minh ở câu b
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
Xét $ΔAMN$ và $ΔACB$ có:
$\widehat{A}$ chung
$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
$⇒ΔAMN\simΔACB\,(c.g.c)$
Ta có:
$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC$
Mặt khác:
$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC$
$⇒AB.AC=AH.BC$
$⇒AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{15.20}{25}=12\,(cm)$
Xét tứ giác $AMHN$ có: $\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o$
$⇒AMHN$ là hình chữ nhật
$⇒MN=AH=12\,(cm)$
$ΔAMN\simΔACB$
$⇒\dfrac{S_{ΔAMN}}{S_{ΔACB}}=\left(\dfrac{MN}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{12}{25}\right)^2=\dfrac{144}{625}$
$⇒S_{ΔAMN}=\dfrac{144}{625}.S_{ΔABC}=\dfrac{144}{625}.\dfrac{1}{2}.15.20=\dfrac{864}{25}=34,56\,(cm^2)$.
