Đáp án:
`A=\sqrt{n}-1`
Giải thích các bước giải:
Với mọi `n\ge 1` ta có:
`\qquad 1/{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}`
`={\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}/{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}).(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}`
`={\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}/{n-(n-1)}`
`={\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}/1`
`=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}`
Áp dụng công thức trên: `1/{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}` vào biểu thức $A$ ta có:
`A=1/{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+1/{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+1/{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+1/{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}`
`=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}`
`=(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{3})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{1})`
`=0+\sqrt{n}-1=\sqrt{n}-1`
Vậy `A=\sqrt{n}-1`
