Đáp án: $n = 10$
Giải thích các bước giải:
Với mọi $k ∈ N^{*} $ ta có :
$4k^{4} + 1 = 4k^{4} + 4k² + 1 - 4k² $
$ = (2k² + 1)² - (2k)² = (2k² - 2k + 1)(2k² + 2k + 1)$
$ ⇒ \dfrac{4k}{4k^{4} + 1 } = \dfrac{4k}{(2k² - 2k + 1)(2k² + 2k + 1)} $
$ = \dfrac{1}{2k² - 2k + 1} - \dfrac{1}{2k² + 2k + 1}$
Do đó:
$ \dfrac{4.1}{4.1^{4} + 1} = \dfrac{1}{2.1² - 2.1 + 1} - \dfrac{1}{2.1² + 2.1 + 1} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{5} $
$ \dfrac{4.2}{4.2^{4} + 1} = \dfrac{1}{2.2² - 2.2 + 1} - \dfrac{1}{2.2² + 2.2 + 1} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{13} $
$ \dfrac{4.3}{4.3^{4} + 1} = \dfrac{1}{2.3² - 2.3 + 1} - \dfrac{1}{2.3² + 2.3 + 1} = \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{25} $
$...................................$
$ \dfrac{4.n}{4.n^{4} + 1} = \dfrac{1}{2n² - 2n + 1} - \dfrac{1}{2n² + 2n + 1} $
Công tất cả lại :
$ \dfrac{4.1}{4.1^{4} + 1} + \dfrac{4.2}{4.2^{4} + 1} + \dfrac{4.3}{4.3^{4} + 1}+ ...+ \dfrac{4.n}{4.n^{4} + 1}$
$ = 1 - \dfrac{1}{2n² + 2n + 1} = \dfrac{2n² + 2n}{2.n² + 2.n + 1} $
$ ⇔ \dfrac{2n² + 2n}{2.n² + 2.n + 1} = \dfrac{220}{221} = \dfrac{220}{220 + 1}$
$ ⇔ 2n² + 2n = 220 ⇔ 4n² + 4n = 440 $
$ ⇔ 4n² + 4n + 1 = 441 ⇔ (2n + 1)² = 21² $
$ ⇔ 2n + 1 = 21 ⇔ 2n = 20 ⇔ n = 10$
