Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Gọi O là tâm của nửa đường tròn đường kính AB
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nha, có:
AC và CM là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại C, nên:
AC=CM ,
OC là tia phân giác của góc AOM ⇔ góc AOC=Góc COM
CO là tia phân giác của góc ACM ⇔ góc ACM = góc OCM
BD và DM là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại D, nên:
DM=BD
DO là tia phân giác của góc MDB ⇔ góc MDO = góc BDO
OD là tia phân giác của góc MOB ⇔ góc MOD = góc DOB
Lại có: ∠AOB = ∠AOC + ∠COM + ∠MOD + ∠DOB = $180^{o}$
= 2∠COD + 2∠COM = $180^{o}$
= 2.(∠COD + ∠COM) = $180^{o}$
= ∠COD + ∠COM = $\frac{180^{o}}{2}$
= ∠COD + ∠COM = $90^{o}$
Mà ∠COD + ∠COM = ∠DOC
nên góc DOC = $90^{o}$
Vậy góc DOC = $90^{o}$ (đpcm)
b) Ta có: CD = CM + MD
Mà CM = AC, DM = BD
Nên CD = CM + MD = AC + BD
Vậy CD = AC + BD (đpcm)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOC, có:
$OM^{2}$ = CM.MD = AC.BD {1}
Mà OM=R nên $OM^{2}$= $R^{2}$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $R^{2}$ = AC.BD
Vậy $R^{2}$ = AC.BD (đpcm)
