Giải thích các bước giải:
CM: $\frac{7}{12}$$ < A < $$\frac{5}{6}$
Ta có: $A = $$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$+....$\frac{1}{40}$
Chia A ra làm 2 nhóm: Ta có: $A1+A2=A$
$A1=$$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$+....$\frac{1}{30}$ > $\frac{1}{30}$+$\frac{1}{30}$ +.....+ $\frac{1}{30}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{30}$)=$\frac{1}{3}$ (1)
$A2=$$\frac{1}{31}$ + $\frac{1}{32}$+....$\frac{1}{40}$ > $\frac{1}{40}$+$\frac{1}{40}$ +.....+ $\frac{1}{40}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{40}$)=$\frac{1}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\left \{ {{A1 > \frac{1}{3}} \atop {A2>\frac{1}{4}}} \right.$
Ta có: $\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$
Mà $A= A1+ A2$
$⇒ A1 + A2 > \frac{7}{12}$
hay $A >$ $\frac{7}{12}$ (3)
$A1=$$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$+....$\frac{1}{30}$ < $\frac{1}{20}$+$\frac{1}{20}$ +.....+ $\frac{1}{20}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{20}$)$=$$\frac{1}{2}$(4)
$A2=$$\frac{1}{31}$ + $\frac{1}{32}$+....$\frac{1}{40}$ > $\frac{1}{30}$+$\frac{1}{30}$ +.....+ $\frac{1}{30}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{30}$)$=$$\frac{1}{3}$ (5)
Từ (4) và (5) $⇒$$\left \{ {{A1 < \frac{1}{2}} \atop {A2 < \frac{1}{3}}} \right.$
Ta có: $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$
Mà $A= A1+ A2$
$⇒ A1+ A2 < \frac{5}{6}$
hay $A < \frac{5}{6}$ (6)
Từ (3) và (6) ⇒ $\frac{7}{12}$$ < A <$ $\frac{5}{6}$ (đpcm)
