Điều kiện: $x\ge0$
+) Chứng minh $A\ge0$
Vì $x\ge0 \to \sqrt{x}\ge0$
Mà $x-\sqrt{x}+1=x-\sqrt{x}+\dfrac14+\dfrac34=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$
$\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\ge0 \ \ (1)$
+) Chứng minh $A\le1$
$A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$
$↔A(x-\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}$
$↔Ax-A\sqrt{x}+A=\sqrt{x}$
$↔Ax-A\sqrt{x}-\sqrt{x}+A=0$
$↔Ax-(A+1)\sqrt{x}+A=0$
$Δ=[-(A+1)]^2-4·A·A=A^2+2A+1-4A^2=-3A^2+2A+1$
Phương trình có nghiệm
$↔Δ≥0$
$↔-3A^2+2A+1≥0$
$↔-3A^2+3A-A+1≥0$
$↔-3A(A-1)-(A-1)≥0$
$↔(A-1)(-3A-1)≥0$
$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}A-1\ge0\\-3A-1\ge0\end{cases}\\\begin{cases}A-1\le0\\-3A-1\le0\end{cases}\end{array}\right.$ $\leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}A\ge1\\A\le -\dfrac{1}{3} \ (\text{loại})\end{cases}\\\begin{cases}A\le1\\A\ge -\dfrac{1}{3} \ (\text{chọn})\end{cases}\end{array}\right.$
$\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le1 \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to 0≤A≤1$
