Đáp án:
\[M\left( {\frac{5}{2}; - 1;0} \right)\]
Giải thích các bước giải:
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \\
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\
{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\,\, - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {MA + MB} \right)^2} = M{A^2} + 2MA.MB + M{B^2}\\
= {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2.\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\
= M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} + 2M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}\\
= 4M{I^2} + 3.\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + 2.\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \\
= 4M{I^2} + 3.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 + I{A^2} + I{B^2} + 2.\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \\
= 4M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}
\end{array}\)
Do I, A, B không đổi nên MA+MB ngắn nhất khi MI ngắn nhất.
Do đó, M là hình chiếu vuông góc của I trên mp Oxy
Suy ra \(M\left( {\frac{5}{2}; - 1;0} \right)\)
