$a(b^3 - c^3) + b(c^3 - a^3) + c(a^3 - b^3)$
$= ab^3 - ac^3 + bc^3 - ba^3 + c(a^3 - b^3)$
$= (ab^3 - ba^3) + (bc^3 - ac^3) + c(a^3 - b^3)$
$= ab(b^2 - a^2) + c^3(b -a) + c(a-b)(a^2 + ab +b^2)$
$= (b -a)[ab(b+a) + c^3 - c(a^2 + ab + b^2)]$
$= (b-a)(ab^2 + a^2b + c^3 - ca^2 - abc- cb^2)$
$= (b-a)[(ab^2 - cb^2) + (a^2b - abc) + (c^3 - ca^2)]$
$= (b-a)[b^2(a-c) + ab(a-c) + c(c^2 - a^2)]$
$= (b-a)(a-c)[b^2 + ab - c(a+c)]$
$= (b-a)(a-c)(b^2 + ab - ac - c^2)$
$= (b-a)(a-c)[a(b-c) + (b^2 - c^2)]$
$= (b-a)(a-c)(b-c)(a+ b + c)$
