Đáp án:
Bổ sung ĐK: $a;\ b\ge0$
Giải thích các bước giải:
Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
$\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge \bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^3$
$⇔\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$
$⇔\dfrac{4a^3+4b^3}8\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}8$
$⇔4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$⇔3a^3+3b^3\ge 3a^2b+3ab^2$
$⇔a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$
$⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0$
$⇔a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge0$
$⇔(a-b)(a^2-b^2)\ge0$
$⇔(a-b)^2(a+b)\ge0$ (luôn đúng với $a;\ b\ge0$)
Vậy BĐT được chứng minh.
