Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
a) Phương pháp biến đổi tương đương
b) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp kỹ thuật chọn điểm rơiGiải chi tiết:a) Ta có:
\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}} \ge 0\), luôn đúng
Hoàn tất chứng minh.
b) Ta có:\(a,b > 0\)và \(a \le 3 - b\)
\(\begin{array}{l}Q = b - a + \frac{{20}}{a} + \frac{7}{b} \ge b - \left( {3 - b} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}} + \frac{7}{b} = \left( {2b - 3} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}} + \frac{7}{b}\\Q \ge \left[ {5\left( {3 - b} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}}} \right] + \left( {7b + \frac{7}{b}} \right) - 18\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có \(\,\,Q \ge 2\sqrt {100} + 2\sqrt {49} - 18 = 16\)
Vậy GTNN\(\,Q = 16\), dấu bằng xảy ra khi \(a = 2,b = 1\).
