Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:a) Ta có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,b \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).
b) Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) (câu a) \( \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab\)
Vì \(a,\,\,b\) dương nên suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{{a + b}}{{\frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}}} = \frac{4}{{a + b}}\)hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,(*)\).
Áp dụng bất đẳng thức: Với \(a,\,\,b > 0\) ta có:
\(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{1 + 3ab + {a^2} + 1 + 3ab + {b^2}}} = \frac{4}{{{{(a + b)}^2} + 4ab + 2}}\)
Mà \(a + b = 1\) nên \(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{1^2} + 4ab + 2}} = \frac{4}{{3 + 4ab}}\,\,\,(1)\)
Lại có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\forall a,b\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\,\,\, \Rightarrow ab \le \frac{1}{4}\,\,\,\,(2)\end{array}\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(A \ge \frac{4}{{3 + 4.\frac{1}{4}}} = 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)
Vậy \(\min A = 1 \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
