Đáp án:

 a) $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

b) $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;x =  - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

c) $x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

d) $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
a){\cot ^2}x = 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot x = 1\\
\cot x =  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy các họ nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
b)4{\cos ^2}2x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\cos 2x = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
2x =  - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\
x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \\
x =  - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy các họ nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;x =  - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
c)\left| {\cos x} \right| = \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \dfrac{1}{2}\\
\cos x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy các họ nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
d){\cos ^2}\left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}x\\
 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2{\sin ^2}x\\
 \Leftrightarrow 1 + \cos \left( {4x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 - \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \sin 4x + \cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {\sin 2x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\sin 2x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
2x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy các họ nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ;x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$