Hàm số có thể được viết lại là
$f(x) = \begin{cases} \sin x \, khi \, -\dfrac{\pi}{2} \ge x \ge \dfrac{\pi}{2}\\ \sin x \, khi \, x<-\dfrac{\pi}{2} \text{hoặc}\, x > \dfrac{\pi}{2}$
Ta xét
$\underset{x \to \frac{\pi}{2}^+}{\lim} f(x) = \underset{x \to \frac{\pi}{2}^+}{\lim} ax + b = \dfrac{a\pi}{2} + b$
và
$\underset{x \to \frac{\pi}{2}^-}{\lim} f(x) = \underset{x \to \frac{\pi}{2}^-}{\lim} \sin x = \sin (\dfrac{\pi}{2}) = 1$
Để hso liên tục thì $\underset{x \to \frac{\pi}{2}^+}{\lim} f(x) = \underset{x \to \frac{\pi}{2}^-}{\lim} f(x)$
Suy ra $\dfrac{a\pi}{2} + b = 1$
Mặt khác, ta có
$\underset{x \to -\frac{\pi}{2}^-}{\lim} f(x) = \underset{x \to -\frac{\pi}{2}^-}{\lim} ax + b = -\dfrac{a\pi}{2} + b$
và
$\underset{x \to -\frac{\pi}{2}^+}{\lim} f(x) = \underset{x \to -\frac{\pi}{2}^+}{\lim} \sin x = \sin(-\dfrac{\pi}{2}) = -1$
Suy ra $-\dfrac{a\pi}{2} + b = -1$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases} \dfrac{a\pi}{2} + b = 1\\ -\dfrac{a\pi}{2} + b = -1 \end{cases}$
Cộng hai phương trình ta suy ra $b = 0$, suy ra $a = \dfrac{2}{\pi}$.
