Đáp án đúng:
Giải chi tiết:a)      Cho x, y là các số nguyên sao cho: \({{x}^{2}}-2xy-y;\ \ xy-2{{y}^{2}}-x\) đều chia hết cho 5. Chứng minh: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\) cũng chia hết cho 5.
Ta có: \(({{x}^{2}}-2xy-y)+(xy-2{{y}^{2}}-x)={{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}-x={{x}^{2}}+xy-\left( 2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( x+y \right)=(x+y)(x-2y-1).\)
Lại có \({{x}^{2}}-2xy-y,\ xy-2{{y}^{2}}-x\) chia hết cho 5.
\(\Rightarrow \left( x+y \right)\left( x-2y-1 \right)\) chia hết cho 5.
Do đó \(x+y\) và \(x-2y-1\) có ít nhất 1 số chia hết cho 5.
TH1: Nếu \(x+y\) chia hết cho 5 thì \(y\equiv -x\ \left( \bmod \ 5 \right)\Rightarrow 0\equiv {{x}^{2}}-2xy-y\equiv {{x}^{2}}+2{{x}^{2}}+x=x(3x+1)\ (\bmod \ \,5)\), do vậy x chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 3.
+) Nếu x chia hết cho 5 thì y cũng vậy, bài toán được chứng minh.
+) Nếu x chia 5 dư 3 thì y chia 5 dư 2, thì: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\equiv 2.9+4+2.3+2=30\equiv 0\ (\bmod \,\ 5).\)
Ta cũng có điều phải chứng minh.
TH2: Nếu \(x-2y-1\) chia hết cho 5 thì \(x\equiv 2y+1\ (\bmod \,5)\)
\(\Rightarrow 0\equiv {{x}^{2}}-2xy-y\equiv {{(2y+1)}^{2}}-2y(y+1)-y=y+1\ (mod\ \,5)\)
Do đó y chia 5 dư 4 và x cũng chia 5 dư 4 nên: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\equiv 2.16+16+2.4+4=60\equiv 0\ (\bmod \ \,5).\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b)     Cho: \({{a}_{1}},{{a}_{2}},..,{{a}_{50}}\) là các số nguyên thỏa mãn: \(1 \le {a_1} \le {a_2} \le .... \le a{  _{50}} \le 50,\;{a_1} + {a_2} + ... + {a_{50}} = 100.\) Chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn được một vài số có tổng là 50.
Nếu tồn tại n: \(1\le n\le 50:{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=50\) thì kết luận bài toán hiển nhiên.
Xét: \(1\le n\le 49:\left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\le 49 \\  & {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}\ge 51 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{a}_{n+1}}\ge 2.\)
\(\begin{align}  & TH1:\ \ {{a}_{n+1}}=2\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=49. \\  & {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{50}}=49 \\ \end{align}\)
Nên nếu:  \(n\le 24\Rightarrow {{a}_{1}}\le {{a}_{n+2}};{{a}_{2}}\le {{a}_{n+3}};....;{{a}_{n}}\le {{a}_{2n+1}}\)
\(\Rightarrow 49={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\le {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{2n+1}}<{{a}_{n+2}}+...+{{a}_{49}}+{{a}_{50}}\)
Điều này là vô lý nên:
\(\begin{align}  & n\ge 25\Rightarrow 49={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}\ge n{{a}_{1}}\ge 25{{a}_{1}}\Rightarrow {{a}_{1}}<2\Rightarrow {{a}_{1}}=1 \\  & \Rightarrow {{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=48;\ \ \ \ {{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}=50. \\ \end{align}\)
TH2: \({{a}_{n+1}}\ge 3\)
\(\begin{align}  & {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{50}}=100-({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}})\le 49 \\  & \Rightarrow 49\ge (49-n){{a}_{n+2}}\ge (49-n).3\Rightarrow n\ge 33 \\  & \Rightarrow 49\ge ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{16}})+({{a}_{17}}+...+{{a}_{n}})\ge 16+(n-16){{a}_{17}}\ge 16+17{{a}_{17}} \\  & \Rightarrow {{a}_{17}}<2\Rightarrow {{a}_{17}}=1\Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{17}}=1. \\ \end{align}\)
Nếu \({{a}_{n+1}}\le 18,\) đặt  \({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}=50+k\ \ (k\ge 1)\)
\(\begin{align}  & \Rightarrow 18\ge {{a}_{n+1}}\ge (50+k)-49=k+1 \\  & \Rightarrow k\le 17\Rightarrow {{a}_{k+1}}+...+{{a}_{n+1}}=50. \\ \end{align}\)
Nếu \({{a}_{n+1}}\ge 19\)
\(\begin{align}  & \Rightarrow 49\ge (49-n){{a}_{n+2}}\ge (49-n)19\to n\ge 47 \\  & \Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{45}}=1 \\ \end{align}\)
Vì nếu: \({{a}_{45}}\ge 2\Rightarrow ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{44}})+({{a}_{45}}+...+{{a}_{n}})\ge 44+(n-44){{a}_{45}}\ge 44+(47-44).2>49\)
Đặt: \({{a}_{n+1}}=50-k\ \ (0\le k\le 31)\Rightarrow {{a}_{1}}+...+{{a}_{k}}+{{a}_{n+1}}=50\ \ \left( do\ \ {{a}_{1}}=....={{a}_{k}}=1 \right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.