Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9
Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\)
\({3^2} = 9\)
Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\)
Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\)
b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)
\({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 2.3 = 6 \cr} \)
\({2^2} = 4\)
Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\)
c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16
Ta có: \(80 > 49 \Rightarrow \sqrt {80} > \sqrt 49 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 7 \)
Từ đó
\(\eqalign{
& 4\sqrt 5 > 7 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 9 + 7 \cr} \)
Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\).
d) \(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và 2
Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)
Ta có: \({5^2} = 25\)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11.3 = 33 \cr} \)
Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)
Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Suy ra :
\(\eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2\)
