$y = x^4 - 2x^2 - 3$
$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$
$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = + \infty$
- Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
$+) \quad y' = 4x^3 - 4x$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x = 0\\x = 1\end{array}\right.$
$+) \quad \text{Bảng biến thiên:}$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + & 0 & - & &0& + &\\
\hline
&+\infty&&&&&-3&&&&&+\infty\\
y & &\searrow& &&\nearrow & &\searrow& & &\nearrow\\
&&&-4&&&&&&-4\\
\hline\end{array}$
- Hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$
- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 0; \, y_{CĐ} = -3$
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $x=1;\, y_{CT} = -4$
$+) \quad \text{Đồ thị:}$
Ta có bảng giá trị:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x &-2&-1&0&1&2\\
\hline
y &5&-4&-3&-4&5\\
\hline
\end{array}$
- Đồ thị cắt $Ox$ tại $(-\sqrt3;0),(\sqrt3;0)$
- Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-3)$
$+) \quad \text{Kết luận:}$
Đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng
b) $x^4 - 2x^2 - 3 =m + 1 \qquad (*)$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C)$ đã cho và đường thẳng $(d): y = m + 1$
Số nghiệm của $(*)$ là số giao điểm giữa $(C)$ và $(d)$
Dựa vào đồ thị hàm số vừa tìm, ta có:
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $2$ nghiệm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m + 1 >-3\\m + 1 = -4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >-4\\m = -5\end{array}\right.$
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $3$ nghiệm
$\Leftrightarrow m +1 = -3$
$\Leftrightarrow m = -4$
+) $(d)$ cắt $(C)$ tại $4$ điểm $\Leftrightarrow (*)$ có $4$ nghiệm
$\Leftrightarrow -4 < m + 1 < -3$
$\Leftrightarrow -5 < m < -4$
