a) n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120 với mọi n nguyên b) n^3 - 3n^2 - n + 3 chia hết cho 48 với mọi n lẻ c) n^3 + 3n^2 - n - 3 chia hết cho 48 với mọi n lẻ Help me ! Thanks in advance ^_^
\(a,n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\)(chia hết cho 1;2;3;4;5)\(\Rightarrowđpcm\)
b, A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1) vì n lẻ nên: (n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (n - 3) là số chẵn chia hết cho 2 => A chia hết cho 16(*) mặt khác: A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1) xét các trường hợp: n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 (**) (*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).